اسم الباحث:محمد أحمد الجعبو

اسم المشرف:الدكتور محمد العلي

العنوان:

دراسة في طرائق العناصر المنتهيّة المستخدمة في حل

منظومات المعادلات التفاضلية

العنوان باللغة الإنكليزية:

” A Study of Finite Element Methods for Solving Systems of Differential Equations”

العام:2025

القسم:الرًياضيات

الملخص:

نركز في هذه الأطروحة على الحل الموائم للمعادلات التّفاضليّة الجزئية التابعة للزمن باستخدام تقنية الشّبكة المتحركة. تم تطوير هذه الطريقة باستخدام دوال مراقبة للتحكم في حركة الشّبكة وتعتمد الطريقة على فكرة التوزيع المتساوي. الطّريقة مشتقة في فضاء متعدد الأبعاد بالاعتماد على مبدأ مصونيه دالة المراقبة، حيث يتم من خلال هذا المبدأ اشتقاق قانون مصونيَة الدالة المراقبة لتولد سرعة الشّبكة. يتم حل معادلات الشّبكة المتحركة من أجل سرعة الشّبكة باستخدام عناصر قياسية خطية منتهية، بحيث يتم إنشاء شبكة جديدة من خلال مكاملة سرعة الشّبكة بالنسبة للزمن باستخدام الفروق المحدودة.

سنطبق طريقة الشّبكة المتحركة لايجاد الحل الموائم لمعادلات من النمط المكافئ. حيث نقوم بحل معادلة الوسط المسامي المكافئي (The parabolic porous medium equation) مع مسألة الحدود المتحركة بالاستفادة من الخصائص المعيارية الثابتة للمعادلة. من أجل هذه المسألة، نقوم بإيجاد حل معادلة الوسط المسامي المكافئي من خلال الحفاظ على دالة مراقبة الكتلة.

سنقدم هنا وصفاً لثلاث طرائق تستخدم في إنشاء المعادلات التَّفاضليَّة  الجزْئيَّة  للشبكة المتحركة التي تشمل سرع نقاط العقد. تعتمد الطريقتين الأولى و الثانية مباشرةً على مبدأ التوزيع المتساوي. حيث يلعب انحراف الشَّبَكة  المتحركة عن شبكة التوزيع المتساوي دوراً أساسياً في إنشاء المعادلة التَّفاضليَّة  الجزْئيَّة  للشبكة المتحركة في الطريقة الثانية. أما الطريقة الثالثة، وعلى الرغم من أنّها تعتمد على ما يسمى تجاذب وتنافر القوى الوهمية بين العقد، إلا أن المعادلات التَّفاضليَّة  الجزْئيَّة  للشبكة المتحركة الناتجة ترتبط أيضاً ارتباطاً وثيقاً بمبدأ التوزيع المتساوي. لقد تم استخدام الطريقتين الأولى والثالثة سابقاً من قبل العديد من الباحثين لتطوير طرائق الشَّبَكة  المتحركة, حيث يتم عادة تمثيل المعادلات الشبكية بشكل متقطع. كما أننا سنقوم بمراجعة معادلات الشبكات المتقطعة، بحيث نعيد اشتقاق المعادلات التَّفاضليَّة  الجزْئيَّة  للشبكة المتحركة المقابلة لها.

تتناول هذه الأطروحة موضوع حل المعادلات التفاضلية باستخدام طرائق عددية متقدمة، وتنقسم إلى أربعة فصول رئيسية.

الفصل الأول: يستعرض هذا الفصل دراسة مرجعية للطرائق العددية المستخدمة في حل المعادلات التفاضلية الجزئية. يتناول هذا الفصل كلاً من طريقة الفروق المحدودة وطريقة العناصر المنتهية المستخدمة لحل المعادلات التفاضلية الجزئية الناقصية. يتم تمثيل إجراء التقطيع الخاص بالمعادلات التفاضلية الجزئية وشروط الحدود بشكل صريح. ويتم تقديم بعض التقنيات التكرارية وهي طريقة جاكوبي وطريقة غاوس-سايدل وطريقة الاسترخاء المتتالي (SOR) وطريقة التدرج المترافق مع خصائص تقارب هذه التقنيات. كما يحتوي هذا الفصل على بعض الأمثلة العددية والنتائج الختامية.

الفصل الثاني: يركز هذا الفصل على مبدأ التوزيع المتساوي ودوال المراقبة، مُقدماً طرقاً مبتكرة تعتمد على التدرج والكتلة وطول القوس. وتم تقديم تحليل مفصل لكيفية استعمال هذه الدوال في تحسين دقة الحلول العددية، إلى جانب أمثلة تطبيقية توضح فعالية هذه الأساليب في مجالات مختلفة.

الفصل الثالث: يركز هذا الفصل على اشتقاق المعادلات التفاضلية الخاصة بالشبكة المتحركة. يتضمن هذا الفصل تحليلاً عميقاً للتقنيات المستخدمة في اشتقاق المعادلات، جنباً إلى جنب مع أمثلة عددية تتناول مختلف التطبيقات العملية. كما نقدم في نهاية هذا الفصل نتائج تبرز أهمية الشبكة المتحركة في تحسين نتائج الحلول العددية للمعادلات التفاضلية.

الفصل الرابع: يتناول هذا الفصل اشتقاق معادلة الوسط المسامي (MPE) من قانون دارسي ( Darcy’s law ) [35] ودراسة خصائص المعادلة وإثبات أن المعادلة تحافظ على الكتلة. تم حل معادلة الوسط المسامي(MPE) باستخدام الشبكة المتحركة, كما تم استعراض الطريقة المستخدمة وتوضيح كيفية تكوين الشبكة المتحركة بشكل فعال مما يسمح بتحقيق نتائج دقيقة. وقد قدمنا بعض الحالات الدراسية التي تتضمن نتائج عددية تثبت كفاءة هذه الطريقة.

عموماَ، تسلط هذه الأطروحة الضوء على التطورات الحديثة في مجال حل المعادلات التفاضلية باستخدام طرائق الشبكة المتحركة، مما يوفر أدوات ووسائل فعالة للتعامل مع التحديات المعقدة في هذا المجال.

 

الكلمات المفتاحية:

شبكة الموائمة – الشبكة المتحركة  – المعادلات التفاضلية للشبكة المتحركة –  العناصر المنتهية – سرعة الشبكة

تحميل البحث