اسم الباحث:ريم نايف الاحمد

اسم المشرف:الدكـتور عبد الباسط الخطيب-الدكـتور باسل العرنوس

العنوان:توليد الفيثاغوريّات باستخدام المصفوفات المتعامدة المنظّمة وتطبيقاتها 

العنوان باللغة الإنكليزية:

Generation of Pythagorean Tuples by Using Orthonormal Matrices and Their Applications

العام:2026

القسم: الرياضيات

الملخص:

تتناول هذه الأطروحة دراسة موسعة لمفهوم “الفيثاغوريات”، وتنتقل من المجال العددي البسيط إلى فضاء كثيرات الحدود والتطبيقات التشفيرية الحديثة.

بدأت الدراسة باستعراض الطرائق الكلاسيكية لتوليد الثلاثيات الفيثاغورية (مثل صيغ إقليدس وفيبوناتشي)، لكنها توسعت لتشمل الأبعاد الأعلى.

قدمت الأطروحة منهجية مبتكرة لتوليد الفيثاغوريات من مراتب مرتفعة عبر دمج المجموعات الأدنى للحصول على مجموعات أكبر، واستعرضت كيفية بناء “أشجار ثلاثية” ممتدة تمثل كل عقدة فيها مجموعة فيثاغورية جديدة ناتجة عن عمليات مصفوفية محددة.

أقامت الأطروحة جسراً نظرياً متيناً بين الجبر الخطي ونظرية الأعداد من خلال استخدام المصفوفات المتعامدة ذات العناصر النسبية. طورت الدراسة أسلوباً لتوليد مصفوفات متعامدة نظامية انطلاقاً من مصفوفات متناظرة تخالفياً باستخدام تحويل “كايلي”. هذا الربط سمح باستنتاج مجموعات فيثاغورية ضخمة ومعقدة من خلال أعمدة هذه المصفوفات، وهو ما يوفر وسيلة حسابية فعالة لتوليد حلول دقيقة في أبعاد عالية جداً.

نجحت الدراسة في تعميم تحويل “كايلي” ليعمل ضمن حلقة كثيرات الحدود ذات المعاملات الصحيحة. وأثبتت أن مجموعة “الرباعيات الفيثاغورية الحدودية” الناتجة لا تمثل مجرد حلول عشوائية، بل تشكل بنية جبرية محكمة (زمرة تبديلية). هذا الاكتشاف يفتح آفاقاً جديدة لفهم كيفية تغير الحلول الفيثاغورية وتطورها كدوال وليس فقط كقيم ثابتة.

وظفت الدراسة هذه النتائج في بناء أنظمة تشفير متطورة، حيث قدمت الأطروحة نظام تشفير جديد يعتمد على الفيثاغوريات المولدة عبر المصفوفات المتعامدة النظامية.

• الميزة الكبرى في هذا النظام هي “فضاء العينة” الضخم جداً للمفاتيح؛ حيث أن استخدام معاملات مشتقة من الرباعيات الفيثاغورية يجعل من الصعب جداً على المهاجمين (الهجمات القائمة على القوة الغاشمة) تخمين المفتاح أو الوصول إلى الرسالة الأصلية.
• أثبتت الدراسة عبر مقارنات إحصائية وجداول زمنية أن النظام المقترح يتفوق على أنظمة تشفير سابقة من حيث اتساع فضاء المفتاح وقوة الصمود أمام محاولات الاختراق، مع الحفاظ على سرعة تنفيذ مناسبة.

تكمن القوة العلمية لهذه الأطروحة في قدرتها على الانتقال من مفهوم رياضي قديم (فيثاغورس) إلى بنى جبرية معقدة (زمر كثيرات الحدود) وصولاً إلى أدوات عملية في حماية البيانات الرقمية، مقدمةً بذلك نظام تشفير يتميز بمتانة أمنية عالية مستمدة من خصائص الأعداد الفيثاغورية.

الكلمات المفتاحية:نظام التشفير NTRU-نظام التشفير ELTRU-تحويل كايلي

تحميل البحث