اسم الباحث:

هبه زكريّا اصلان

عنوان البحث:

الحلول التقريبية للمعادلات التفاضلية الناقصية ببعدين بطريقة العناصر المنتهية بشروط  حدية مختلطة

عنوان البحث باللغة الانكليزية :

Approximation Solutions For Elliptic Differential Equations In Two Dimensions Using Finite Element Method On Mixed Boundary Conditions

اسم المشرف :

أ.م.د. حبيب علي  – أ.د. برلنت مطّيط 

العام:2020

القسم:الرياضيات

الملخص:

قدمنا في هذه الرسالة دراسة لإيجاد الحل التقريبي للمعادلات التفاضلية الناقصية بطريقة العناصر المنتهية في الفضاء ثنائي البعد بشروط حدية مختلطة تجمع بين شرط ديرخليه وشرط نيومان, ويعود اهتمامنا بالحل العددي لأن الحل الفعلي يصعب إيجاده في كثير من الأحيان, حيث ناقشنا في هذه الرسالة أساسيات بناء طريقة العناصر المنتهية للمعادلات الناقصية الخطية ذات الأمثال الثابتة والمتغيرة في الإحداثيات الديكارتية وإحداثيات المساحة والإحداثيات المركزية, وتوضيح جميع الخطوات اللازمة لذلك, ثم انتقلنا إلى إيجاد الحل التقريبي للمعادلات الناقصية غير الخطية بطريقة العناصر المنتهية والتي يصعب إيجاد حلها التقريبي دون الاستعانة بطرائق أخرى, وذلك لأن طريقة العناصر المنتهية تحتاج عند تطبيقها على معادلات تفاضلية جزئية غير خطية إمّا لطرائق تكرارية مثل ( طريقة نيوتن_غاوس, طريقة بيكارد التكرارية, طريقة نيوتن_غالاركين, طريقة نيوتن رافسون بمختلف درجات تقريبها) أو لدمجها مع طرائق تقريبية أخرى مثل طريقة تحليل الهوموتوبوبي, حيث استطعنا إدخال جميع الطرائق التكرارية السابقة على طريقة العناصر المنتهية و إيجاد الحلول التقريبية لبعض المعادلات الناقصية غير الخطية, ثم عملنا على دمج طريقة العناصر المنتهية مع طريقة تحليل الهوموتوبي بطريقة واحدة وذلك لتحويل المسألة غير الخطية إلى مسألة خطية من خلال طريقة تحليل الهوموتوبي, وللتغلب على التعقيد الهندسي للمنطقة عن طريق شبكة من العناصر المنتهية من خلال طريقة العناصر المنتهية, حيث تكمن أهمية طريقة الدمج هذه بإمكانية تطبيقها على جميع المعادلات التفاضلية الجزئية, وتعطي نتائج أسرع بكثير من تطبيق كل طريقة بمفردها, ثم انتقلنا إلى تقدير الخطأ المرتكب أثناء تطبيق طريقة العناصر المنتهية واثبات المبرهنات اللازمة للتوصل لعبارة الخطأ, ولأن طريقة العناصر المنتهية تحتاج الكثير من الوقت نظراً لكثرة خطواتها وحاجتها لعدد كبير من العناصر فقد قمنا بإدراج بعض برامج الماتلاب التي تخدم العديد من الأمثلة في هذه الرسالة والتي تساعد في توفير الكثير من الوقت, ومن الجدير بالذكر أن بعض هذه الأمثلة وردت في المراجع, لذلك قمنا بإعادة صياغة هذه الأمثلة وعرضها بأسلوب مبسط وتفصيلي يوضح آلية عمل الطريقة ويساعد على فهم القارئ, وقد أدرجنا الجداول والرسوم التي توضح كيفية التقسيم  بطريقة العناصر المنتهية بطريقة سليمة.

الكلمات المفتاحية: المعادلات التفاضلية الناقصية, طريقة العناصر المنتهية, شروط ديرخليه الحدية, الشروط الحدية المختلطة, الصيغة الضعيفة, مصفوفات الصلابة, متجهات الحمولة, دالة الوزن, دوال الشكل, درجات الحرية, طريقة بيكارد التكرارية, طريقة نيوتن غالاركين, طريقة نيوتن رافسون, طريقة تحليل الهوموتوبي.

التحميل